Martin Wißner schloss 2007 sein Schauspielstudium an der Bayerischen Theaterakademie August Everding ab. Bereits während der Ausbildung war er in Produktionen an der Bayerischen Staatsoper und unter der Regie von Dieter Dorn am Residenztheater München zu sehen. Von 2007 bis 2013 war er festes Ensemblemitglied am Deutschen Schauspielhaus Hamburg, wo er unter anderem mit Regisseuren wie Franz Wittenbrink und Klaus Schumacher zusammenarbeitete. Unter der Regie von Markus Bothe übernahm er die Titelrolle in »Krabat« und spielte den Jason in der 2008 zum Berliner Theatertreffen eingeladenen Produktion »Pornographie« (Regie Sebastian Nübling). Mit der Produktion »Das Ding« von Philipp Löhle (Regie Jan Phillip Gloger) war er beim Heidelberger Stückemarkt 2012 zu Gast. Neben Theater ist er auch für Film und Fernsehen tätig, u. a. war er 2011 fester Cast der ARD-Serie »Heiter bis tödlich − Nordisch Herb«. Am Theater und Orchester Heidelberg war Martin Wißner 2013 bis 2019 festes Ensemblemitglied, mit der Spielzeit 2024/25 kehrt er ins feste Schauspielensemble zurück. Hier spielte er unter anderem Andreas Kragler in »Trommeln in der Nacht«, Danforth in »Hexenjagd« und Maik in »Tschick«.